BÀI TẬP 1 TRANG 23 TOÁN 12
Hướng dẫn giải bài xích §3. Giá bán trị lớn nhất và giá bán trị bé dại nhất của hàm số, Chương 1. Ứng dụng đạo hàm để điều tra và vẽ đồ vật thị hàm số, sách giáo khoa Giải tích 12. Nội dung bài xích giải bài bác 1 2 3 4 5 trang 23 24 sgk Giải tích 12 bao hàm tổng đúng theo công thức, lý thuyết, cách thức giải bài xích tập giải tích bao gồm trong SGK để giúp đỡ các em học viên học giỏi môn toán lớp 12.
Bạn đang xem: Bài tập 1 trang 23 toán 12
Lý thuyết
1. Định nghĩa
Cho hàm số $y = f(x)$ khẳng định trên tập $D$.
– Số $M$ là giá bán trị lớn số 1 (GTLN) của hàm số $f$ trên $D$
(⇔left{ matrixf(x) le M,forall x in D hfill crexists x_0 in D ext làm thế nào để cho f(x_0) = M hfill cr ight.)
Kí hiệu : (M=undersetDmax f(x).)
– Số $m$ là giá chỉ trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số $f$ bên trên $D$
(⇔left{ matrixf(x) ge m,forall x in D hfill crexists x_0 in D ext thế nào cho f(x_0) = m hfill cr ight.)
Kí hiệu: (m=undersetDmin f(x).)
2. Cách tính GTLN cùng GTNN của hàm số trên một đoạn
Định lí:
Mọi hàm số thường xuyên trên một đoạn đều có GTLN cùng GTNN bên trên đoạn đó.
Quy tắc search GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn
– Tìm các điểm xi ∈ (a ; b)(i = 1, 2, . . . , n) nhưng tại đó f"(xi) = 0 hoặc f"(xi) không xác định.
– Tính f(a), f(b), f(xi) (i = 1, 2, . . . , n) .
– lúc đó: (underset
(underset
Để kiếm tìm GTLN, GTNN của hàm số y=f(x) xác định trên tập hợp D, ta có thể khảo cạnh bên sự biến thiên của hàm số bên trên D, rồi địa thế căn cứ vào bảng đổi mới thiên của hàm số mà tóm lại về GTLN cùng GTNN của hàm số.
Dưới đó là phần hướng dẫn trả lời các câu hỏi và bài tập trong phần buổi giao lưu của học sinh sgk Giải tích 12.
Câu hỏi
1. Trả lời câu hỏi 1 trang trăng tròn sgk Giải tích 12
Xét tính đồng biến, nghịch đổi mới và tính giá bán trị khủng nhất, giá trị nhỏ dại nhất của hàm số:
a) $y = x^2$ trên đoạn $<-3; 0>$;
b) (y = frac (x + 1)(x – 1)) trên đoạn $<3; 5>$.
Trả lời:
a) Ta có: $y’ = 2x ≤ 0$ bên trên đoạn $<-3; 0>$. Vậy hàm số nghịch trở nên trên đoạn $<-3,0>$.
Khi đó trên đoạn $<-3,0>$: hàm số đạt giá trị lớn số 1 tại $x = -3$ và giá trị lớn số 1 bằng $9$, hàm số đạt giá chỉ trị nhỏ tuổi nhất tại $x = 0$ cùng giá trị nhỏ nhất $= 0$.
b) Ta có: (y’ = – frac2(x-1)^2)
Khi đó trên đoạn $<-3,5>$: hàm số đạt giá trị lớn số 1 tại $x = 3$ cùng giá trị lớn nhất bằng $2$, hàm số đạt giá trị nhỏ dại nhất tại $x = 5$ và giá trị nhỏ tuổi nhất $= 1.5$.
2. Trả lời thắc mắc 2 trang 21 sgk Giải tích 12
Trả lời:
Hàm số:
(y = left{ matrix{– x^2 + 2,;,, – 2 le x le 1 hfill crx,,;,,,1
3. Trả lời câu hỏi 3 trang 23 sgk Giải tích 12
Vậy giá trị nhỏ tuổi nhất của hàm số đã cho là $ -1$ tại $x = 0$.Dưới đấy là Hướng dẫn giải bài 1 2 3 4 5 trang 23 24 sgk Giải tích 12. Các bạn hãy phát âm kỹ đầu bài trước lúc giải nhé!
Bài tập
tuvientuongvan.com.vn ra mắt với chúng ta đầy đủ phương pháp giải bài bác tập giải tích 12 kèm bài bác giải đưa ra tiết bài 1 2 3 4 5 trang 23 24 sgk Giải tích 12 của bài §3. Giá chỉ trị lớn số 1 và giá bán trị nhỏ nhất của hàm số vào Chương 1. Ứng dụng đạo hàm để điều tra khảo sát và vẽ vật thị hàm số cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài bác tập chúng ta xem dưới đây:
1. Giải bài xích 1 trang 23 sgk Giải tích 12
Tính giá trị phệ nhất, giá chỉ trị nhỏ nhất của hàm số:
a) (y = x^3 – 3x^2 – 9x + 35) trên những đoạn (<-4; 4>) và (<0;5>).
b) (y = x^4 – 3x^2 + 2) trên các đoạn (<0;3>) với (<2;5>).
c) (y =frac (2-x)(1-x)) trên những đoạn (<2;4>) với (<-3;-2>).
d) (y =sqrt(5-4x)) bên trên đoạn (<-1;1>).
Bài giải:
a) Xét hàm số (y = x^3 – 3x^2 – 9x + 35)
– Tập xác minh (D=mathbbR).
– Hàm số liên tục trên những đoạn <-4;4> với <0;5> nên gồm GTLN cùng GTNN trên mỗi đoạn này.
Ta có: y’ = 3x2 – 6x – 9 = 3(x2 – 2x – 3)
♦ bên trên đoạn <-4;4>:
(y’ = 0 Leftrightarrow left< eginarrayl x = 3 in left< – 4;4 ight>\ x = – 1 in left< – 4;4 ight> endarray ight.)
Ta có: y(-4)=-41; y(4)=15; y(-1)=40; y(3)=8.
Xem thêm: Bài 1 Trang 68 (Luyện Tập) Sgk Toán 5 Luyện Tập Trang 68 Sgk Toán 5, Luyện Tập
Vậy:
– giá chỉ trị lớn nhất của hàm số là (mathop max ylimits_x in left< – 4;4 ight> = y( – 1) = 40).
– giá trị nhỏ tuổi nhất của hàm số là (mathop min ylimits_x in left< – 4;4 ight> = y( – 4) = – 41.)
♦ bên trên đoạn <0;5>:
(y’ = 0 Leftrightarrow left< eginarray*20l x = 3 in left< 0;5 ight>\ x = – 1 otin left< 0;5 ight> endarray ight.)
Ta có: y(0)=35; y(5)=40; y(3)=8.
Vậy:
– giá chỉ trị lớn số 1 của hàm số là (mathop max ylimits_x in left< 0;5 ight> = y(5) = 40.)
– giá bán trị bé dại nhất của hàm số là (mathop min ylimits_x in left< 0;5 ight> = y(3) = 8.)
b) Xét hàm số (y = x^4 – 3x^2 + 2)
– Tập xác minh $D=R$
– Hàm số tiếp tục trên các đoạn (<0;3>) với (<2;5>) nên tất cả GTLN cùng GTNN trên các đoạn này:
– Đạo hàm: y’=4x3-6x.
♦ bên trên đoạn <0;3>:
(y’ = 0 Leftrightarrow left< eginarray*20l x = – sqrt frac32 otin left< 0;3 ight>\ x = 0 in left< 0;3 ight>\ x = sqrt frac32 in left< 0;3 ight> endarray ight.)
Ta có: y(0)=2; (yleft( sqrt frac32 ight) = – frac14); y(3)=56.
Vậy:
– giá chỉ trị lớn số 1 của hàm số:(mathop max ylimits_x in left< 0;3 ight> = yleft( 3 ight) = 56.)
– giá bán trị bé dại nhất của hàm số: (mathop min ylimits_x in left< 0;3 ight> = yleft( sqrt frac32 ight) = – frac14.)
♦ bên trên đoạn <2;5>:
(y’ = 0 Leftrightarrow left< eginarray*20l x = – sqrt frac32 otin left< 2;5 ight>\ x = 0 otin left< 2;5 ight>\ x = sqrt frac32 otin left< 0;3 ight> endarray ight.)
Ta có: y(2)=6; y(5)=552
Vậy:
– giá trị lớn nhất của hàm số (mathop max ylimits_x in left< 2;5 ight> = yleft( 6 ight) = 552.)
– giá chỉ trị nhỏ nhất của hàm số: (mathop min ylimits_x in left< 2;5 ight> = yleft( 2 ight) = 6.)
c) Xét hàm số (y =frac (2-x)(1-x))
Hàm số tất cả tập khẳng định D = R 1 và tiếp tục trên những đoạn <2;4> và <-3;-2> thuộc D, cho nên vì vậy hàm số tất cả GTLN, GTNN trên mỗi đoạn này.
Ta tất cả :
Ta có: (y’=frac1.left( -1 ight)-1.left( -2 ight)left( x-1 ight)^2=frac1left( x-1 ight)^2>0 forall x e 1.)
Với (D=left< 2; 4 ight>) có: (yleft( 2 ight)=0; yleft( 4 ight)=frac23.)
Vậy (undersetxin left< 2; 4 ight>mathopmin ,y=0 khi x=2) và (undersetxin left< 2; 4 ight>mathopmax ,y=frac23 khi x=4.)
♦ bên trên đoạn <2;4>: (y(2)=0;y(4)=frac23.)
Vậy:
– giá trị nhỏ tuổi nhất của hàm số: (mathop min ylimits_x in left< 2;4 ight> = yleft( 2 ight) = 0.)
– giá chỉ trị lớn nhất của hàm số: (mathop max ylimits_x in left< 2;4 ight> = yleft( 4 ight) = frac23.)
♦ trên đoạn <-3;-2>: (y(-3)=frac54;y(-2)=frac43.)
Vậy:
– giá trị nhỏ nhất của hàm số: (mathop min ylimits_x in left< – 3;-2 ight> = yleft( – 3 ight) = frac54.)
– giá chỉ trị lớn nhất của hàm số: (mathop max ylimits_x in left< – 3; – 2 ight> = yleft( – 2 ight) = frac43.)
d) Xét hàm số (y =sqrt(5-4x))
Hàm số bao gồm tập khẳng định ( mD = left( – infty ;frac54 ight>) nên xác định và thường xuyên trên đoạn <-1;1>, vì thế có GTLN, GTNN trên đoạn <-1;1>.
Ta có:(y’ = – frac2sqrt 5 – 4x
2. Giải bài xích 2 trang 24 sgk Giải tích 12
Trong số những hình chữ nhật cùng gồm chu vi 16 cm, hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.
Bài giải:
♦ giải pháp 1: Áp dụng bất đăng thức cô-si
Kí hiệu $x, y$ đồ vật tự là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật $(0 x>0; 8>y>0)$.
Khi đó chu vi: $p=2(x+y)=16 ⇔ x+y=8 ⇔ y=8-x.$
Ta có diện tích s của hình chữ nhật là:
$S=x.y=x(8-x) ⇔ S=-x^2 + 8x$.
Xét hàm số: $S(x) = -x$2 + 8x$ trên khoảng $(0, 8)$ ta có:
$S’=-2x + 8; S’= 0 ⇔ x=4$
Bảng đổi thay thiên:
Từ bảng thay đổi thiên ta thấy hàm số đạt giá chỉ trị lớn số 1 tại x=4 khi đó maxS = 16.
Với $x=4$ suy ra $y=4$.
Vậy hình vuông có cạnh bởi $4$ là hình có diện tích s lớn nhất.
3. Giải bài 3 trang 24 sgk Giải tích 12
Trong toàn bộ các hình chữ nhật cùng có diện tích s $48 m^2$, hãy xác định hình chữ nhật bao gồm chu vi bé dại nhất.
Bài giải:
♦ bí quyết 1: thực hiện bất đẳng thức cô-si:
♦ bí quyết 2: Ứng dụng đạo hàm để tìm giá bán trị lớn số 1 và bé dại nhất của hàm số
Gọi x,y thứu tự là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật (x>0,y>0)
Ta có:
Khi đó chu vi của hình chữ nhật là (p=2(x+y) Leftrightarrow p=2x+frac96x.)
Xét hàm số (Pleft( x ight)=2left( x+dfrac48x ight)) bên trên (left( 0;+infty ight)) ta có:
(eginarraylP’left( x ight) = 2left( 1 – dfrac48x^2 ight) Rightarrow P’left( x ight) = 0 Leftrightarrow x^2 – 48 = 0\Leftrightarrow x^2 = 48 Leftrightarrow left< eginarraylx = 4sqrt 3 ; in left( 0; + infty ight)\x = – 4sqrt 3 ;; otin left( 0; + infty ight)endarray ight..endarray)
Ta có: (Pleft( 4sqrt3 ight)=16sqrt3.)
(eginalign & undersetx o 0mathoplim ,Pleft( x ight)=undersetx o 0mathoplim , 2left( x+dfrac48x ight)=+infty . \ và undersetx o +infty mathoplim ,Pleft( x ight)=undersetx o +infty mathoplim , 2left( x+dfrac48x ight)=+infty . \ và Rightarrow Min Pleft( x ight)=16sqrt3 khi x=4sqrt3. \ và Rightarrow y=dfrac484sqrt3=4sqrt3m. \ endalign)
Bảng trở thành thiên:
Từ bảng biến thiên ta có: (min p. = 16sqrt 3) lúc (x = 4sqrt 3 ,).
Với (x = 4sqrt 3 ,Rightarrow y=frac48x=4sqrt 3).
Vậy hình vuông vắn có cạnh (4sqrt 3 ,) là hình tất cả chu vi nhỏ tuổi nhất theo yêu cầu bài toán.
4. Giải bài xích 4 trang 24 sgk Giải tích 12
Tính giá trị phệ nhất của các hàm số sau:
a) (y=frac41+x^2).
Xem thêm: Địa Lí 11/ Phần Phía Bắc Của Liên Bang Nga Có Khí Hậu Nào? Phần Phía Bắc Của Liên Bang Nga Có Khí Hậu
b) (y=4x^3-3x^4).
Bài giải:
a) (y=frac41+x^2.)
Tập xác định: (D=R.)
Ta có: (y’=frac-2x.4left( 1+x^2 ight)^2=frac-8xleft( 1+x^2 ight)^2Rightarrow y’=0Leftrightarrow 8x=0Leftrightarrow x=0.)
(undersetx o pm infty mathoplim ,frac41+x^2=0.)
Ta có bảng biến hóa thiên:
Từ bảng vươn lên là thiên ta thấy hàm số đạt GTLN tại (x=0; undersetRmathopmax ,y=4.)
b) (y=4x^3-3x^4.)
Tập xác định: (D=R.)
Ta có: (y’=12x^2-12x^3Rightarrow y’=0Leftrightarrow 12x^2-12x^3=0Leftrightarrow left< eginalign& x=0 \ & x=1 \ endalign ight..)
(undersetx o pm infty mathoplim ,y=undersetx o pm infty mathoplim ,left( 4x^3-3x^4 ight)=-infty .)
Ta tất cả bảng biến thiên:
Theo bảng biến hóa thiên ta thấy hàm số đạt GTLN tại (x=1; undersetRmathopmax ,y=1.)
5. Giải bài bác 5 trang 24 sgk Giải tích 12
Tính giá bán trị nhỏ tuổi nhất của các hàm số sau:
a) (y = left | x ight |);
b) (y = x+frac4x ( x > 0))
Bài giải:
a) (y=left| x ight|.)
Ta có: y = |x| ≥ 0 ∀ x
Tập xác định: (D=R.)
Ta tất cả bảng trở nên thiên:
Từ bảng biến thiên ta bao gồm hàm số đạt GTNN tại (x=0; undersetRmathopmin ,=0.)
b) (y=x+frac4x left( x>0 ight).)
Ta có: (y’=1-frac4x^2Rightarrow y’=0Leftrightarrow 1-frac4x^2=0Leftrightarrow x^2-4=0Leftrightarrow left< eginalign& x=-2 otin left( 0;+infty ight) \ và x=2in left( 0;+infty ight) \ endalign ight..)
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến chuyển thiên ta thấy: (undersetleft( 0;+infty ight)mathopMin,y=4 khi x=2.)
Bài trước:
Bài tiếp theo:
Chúc chúng ta làm bài giỏi cùng giải bài bác tập sgk toán lớp 12 với giải bài xích 1 2 3 4 5 trang 23 24 sgk Giải tích 12!
