BÀI TẬP GIỚI HẠN HÀM SỐ LỚP 11

Với phương pháp giải những dạng toán về giới hạn của hàm số môn Toán lớp 11 Đại số cùng Giải tích gồm phương thức giải bỏ ra tiết, bài bác tập minh họa có giải thuật và bài xích tập trường đoản cú luyện để giúp đỡ học sinh biết cách làm bài bác tập những dạng toán về số lượng giới hạn của hàm số lớp 11. Mời chúng ta đón xem:

Giới hạn của hàm số và bí quyết giải bài bác tập - Toán lớp 11

1. Lý thuyết

a) giới hạn của hàm số tại một điểm:

* giới hạn hữu hạn: Cho khoảng K đựng điểm x0 . Ta nói rằng hàm số f(x) xác minh trên K (có thể trừ điểm x0) có số lượng giới hạn là L khi x dần tới x0 giả dụ với dãy số (xn) bất kì, xn∈Kx0và xn→x0, ta có: f(xn)→L

Kí hiệu:limx→x0f(x)=L giỏi f(x)→Lkhi x→x0.

Bạn đang xem: Bài tập giới hạn hàm số lớp 11

Nhận xét: nếu như f(x) là hàm số sơ cấp xác minh tại x0 thì limx→x0fx=fx0.

* giới hạn ra vô cực:

Hàm số y = f(x) có số lượng giới hạn dần cho tới dương vô rất khi x dần tới x0 nếu với mọi dãy số (xn):xn→x0thì f(xn)→+∞.

Kí hiệu: .

Hàm số y = f(x) có giới hạn dần cho tới âm vô rất khi x dần tới x0 nếu với tất cả dãy số (xn):xn→x0thì f(xn)→−∞.

Kí hiệu: limx→x0f(x)=−∞.

b) số lượng giới hạn của hàm số trên vô cực

* số lượng giới hạn ra hữu hạn:

- Ta nói hàm số y = f(x) xác định trên (a;+∞)có giới hạn là L khi x→+∞nếu với tất cả dãy số (xn):xn>avà xn→+∞thì f(xn)→L.

Kí hiệu: limx→+∞f(x)=L.

- Ta nói hàm số y = f(x) xác định trên (−∞;b)có giới hạn là L khi x→−∞nếu với đa số dãy số (xn):xnbvà xn→−∞thì f(xn)→L.

Kí hiệu: limx→−∞f(x)=L.

* giới hạn ra vô cực:

- Ta nói hàm số y = f(x) xác định trên (a;+∞)có giới hạn dần cho tới dương vô cùng (hoặc âm vô cùng) khi x→+∞nếu với mọi dãy số (xn):xn>avà xn→+∞thì f(xn)→+∞(hoặc f(xn)→−∞).

Kí hiệu: limx→+∞f(x)=+∞(hoặc limx→+∞f(x)=-∞).

- Ta nói hàm số y = f(x) xác định trên (−∞;b)có số lượng giới hạn là dần tới dương khôn cùng (hoặc âm vô cùng) khi x→−∞nếu với mọi dãy số (xn):xnbvà xn→−∞thì f(xn)→+∞. (hoặc f(xn)→−∞).

Kí hiệu: limx→-∞f(x)=+∞(hoặc limx→-∞f(x)=−∞).

c) Các giới hạn đặc biệt:

d) Một vài ba định lý về giới hạn hữu hạn

Chú ý:

- những định lý về giới hạn hữu hạn của hàm số vẫn đúng vào khi thay x→x0bởi x→+∞ hoặc x→-∞.

- Định lí bên trên ta chỉ vận dụng cho rất nhiều hàm số có số lượng giới hạn là hữu hạn. Ta không áp dụng cho những giới hạn dần về vô cực.

* Nguyên lí kẹp

Cho ba hàm số f(x), g(x), h(x) xác minh trên K chứa điểm x0 (có thể các hàm đó không xác minh tại x0). Ví như g(x)≤f(x)≤h(x)  ∀x∈Klimx→x0g(x)=limx→x0h(x)=Lthì .

e) phép tắc về giới hạn vô cực

Quy tắc tìm số lượng giới hạn của tích f(x)g(x)

Quy tắc tìm số lượng giới hạn của thươngf(x)g(x)

f) số lượng giới hạn một bên

* số lượng giới hạn hữu hạn

- Định nghĩa 1: giả sử hàm số f khẳng định trên khoảng tầm x0;b,x0∈ℝ. Ta bảo rằng hàm số f có giới hạn bên buộc phải là số thực L khi dần cho x0 (hoặc tại điểm x0) nếu với tất cả dãy số bất kì (xn) mọi số thuộc khoảng chừng (x0; b) nhưng mà lim xn = x0 ta đều phải sở hữu lim f(xn) = L.

Khi đó ta viết: limx→x0+fx=Lhoặc fx→Lkhi x→x0+.

- Định nghĩa 2: đưa sử hàm số f khẳng định trên khoảng a;x0,x0∈ℝ. Ta bảo rằng hàm số có giới hạn bên trái là số thực L lúc x dần đến x0 (hoặc trên điểm x0) nếu với mọi dãy bất kỳ (xn) hầu hết số thuộc khoảng chừng (a; x0) cơ mà lim xn = x0 ta đều sở hữu lim f(xn) = L.

Khi kia ta viết: limx→x0−fx=Lhoặc fx→Lkhi x→x0−.

- dìm xét:

limx→x0fx=L⇔limx→x0−fx=limx→x0+fx=L

Các định lí về số lượng giới hạn của hàm số vẫn đúng vào khi thay x→x0bởi x→x0− hoặc x→x0+.

* số lượng giới hạn vô cực

- những định nghĩa limx→x0−fx=+∞, limx→x0−fx=−∞, limx→x0+fx=+∞và limx→x0+fx=−∞được phạt biểu tương tự như như quan niệm 1 và có mang 2.

- dìm xét: những định lí về số lượng giới hạn của hàm số vẫn đúng nếu chũm L bởi +∞ hoặc-∞

2. Các dạng bài xích tập

Dạng 1: giới hạn tại một điểm

Phương pháp giải:

- trường hợp f(x) là hàm số sơ cấp khẳng định tại x0 thìlimx→x0fx=fx0

- Áp dụng luật lệ về số lượng giới hạn tới vô cực:

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính những giới hạn sau:

Lời giải

Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:

Lời giải

Dạng 2: giới hạn tại vô rất

Phương pháp giải:

- Rút lũy thừa tất cả số mũ mập nhất

- Áp dụng quy tắc giới hạn tới vô cực

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

a)limx→+∞(7x5+5x2−x+7)

b)limx→−∞4x5−3x3+x+1

Lời giải

Ví dụ 2: Tính những giới hạn sau:

a)limx→+∞x6+5x−1

b)limx→−∞2x2+1+x

Lời giải

Dạng 3: Sử dụng nguyên tắc kẹp

Nguyên lí kẹp

Cho cha hàm số f(x), g(x), h(x) khẳng định trên K đựng điểm x0 (có thể các hàm kia không xác định tại x0). Trường hợp g(x)≤f(x)≤h(x)  ∀x∈Klimx→x0g(x)=limx→x0h(x)=Lthì limx→x0f(x)=L.

Phương pháp giải:

Xét tính bị chặn của hàm số f(x) vày hai hàm số g(x) cùng h(x) sao cholimx→x0g(x)=limx→x0h(x)=L

Chú ý tính bị chặn của hàm con số giác:

−1≤sinx≤1−1≤cosx≤1

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính số lượng giới hạn của hàm số:

a)limx→0x2cos2nx

b)limx→−∞cos5x2x

Lời giải

Ví dụ 2: Tính giới hạn của hàm số:limx→+∞2sinx+cos3xx+1−x

Lời giải

Dạng 4: giới hạn dạng vô định00

Nhận biết dạng vô định 00: Tính limx→x0f(x)g(x)trong kia f(x0) = g(x0) = 0.

Phương pháp giải:

Để khử dạng vô định này ta so với f(x) với g(x) sao để cho xuất hiện nay nhân tử chung là (x – x0)

Định lí: Nếu nhiều thức f(x) có nghiệm x = x0 thì ta có: f(x) = (x – x0)f1(x).

* giả dụ f(x) và g(x) là những đa thức thì ta đối chiếu f(x) = (x – x0)f1(x) với g(x) = (x – x0)g1(x).

Khi đó limx→x0f(x)g(x)=limx→x0f1(x)g1(x), giả dụ giới hạn này còn có dạng 00thì ta liên tục quá trình như trên.

Chú ý: nếu như tam thức bậc nhì ax2 + bx + c bao gồm hai nghiệm x1; x2 thì ta luôn có sự phân tích: ax2 + bx + c = a(x – x1) (x – x2)

* nếu như f(x) cùng g(x) là các hàm đựng căn thức thì ta nhân lượng phối hợp để chuyển về các đa thức, rồi phân tích những đa thức như trên.

Các lượng liên hợp:

* ví như f(x) cùng g(x) là các hàm đựng căn thức không đồng cấp ta sử dụng phương pháp tách, chẳng hạn:

Nếu u(x)n,v(x)m→c thì ta phân tích:

u(x)n−v(x)m=(u(x)n−c)−(v(x)m−c)

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

a)limx→1x3−3x2+2x2−4x+3

b)limx→22x2−5x+2x3−8

Lời giải

a)limx→1x3−3x2+2x2−4x+3

=limx→1(x−1)(x2−2x−2)(x−1)(x−3)=limx→1x2−2x−2x−3=32

b)limx→22x2−5x+2x3−8

=limx→2(2x−1)(x−2)(x−2)(x2+2x+4)=limx→22x−1x2+2x+4=14

Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:

Lời giải

Dạng 5: số lượng giới hạn dạng vô định∞∞

Nhận biết dạng vô định∞∞

limx→x0uxvxkhi limx→x0ux=±∞,limx→x0vx=±∞

limx→±∞uxvx khilimx→x0ux=±∞,limx→x0vx=±∞

Phương pháp giải:

- phân chia tử cùng mẫu mang đến xn với n là số mũ tối đa của thay đổi ở mẫu (Hoặc phân tích thành tựu chứa nhân tử xn rồi giản ước).

- Nếu u(x) hoặc v(x) có chứa trở thành x trong dấu căn thì chuyển xk ra bên ngoài dấu căn (Với k là mũ cao nhất của phát triển thành x trong vệt căn), kế tiếp chia tử với mẫu đến lũy thừa tối đa của x.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

Lời giải

Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:

Lời giải

Dạng 6: số lượng giới hạn dạng vô định ∞−∞ và0.∞

Phương pháp giải:

- nếu biểu thức chứa trở thành số dưới dấu căn thì nhân và chia với biểu thức liên hợp

- nếu như biểu thức đựng nhiều phân thức thì quy đồng mẫu và mang về cùng một biểu thức

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

Lời giải

Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:

a)limx→01x−1x2

b)limx→01x1x+1−1

Lời giải

Dạng 7: Tính giới hạn một bên

Phương pháp giải:

Sử dụng nguyên tắc tính số lượng giới hạn tới vô cực

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính những giới hạn sau:

Lời giải

Ví dụ 2: cho hàm số fx=x2+11−x khi x12x−2 khi x≥1. Tính:

a)limx→1+fx

b) limx→1−fx

Lời giải

a)limx→1+fx=limx→1+2x−2=2.1−2=0

b) limx→1−fx=limx→1−x2+11−x=+∞ vìlimx→1−x2+1=2>0limx→1−1−x=0x→1−⇒x1⇒1−x>0

Dạng 8: search tham số m để hàm số gồm giới hạn ở 1 điểm đến trước

Phương pháp giải:

Sử dụng thừa nhận xét:limx→x0fx=L⇔limx→x0−fx=limx→x0+fx=L

- Tính giới hạnlimx→x0−fx;  limx→x0+fx

- Để hàm số có số lượng giới hạn tại x = x0 mang đến trước thì limx→x0−fx= limx→x0+fx. Tìm m.

Khi đó với m vừa tìm kiếm được, hàm số có giới hạn tại x = x0 mang đến trước và số lượng giới hạn đó bằngL=limx→x0−fx= limx→x0+fx

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: mang đến hàm số fx=x2−3x+2x−2      x>2a                       x≤2. Với mức giá trị làm sao của a thì hàm số đã cho có giới hạn tại điểm x = 2?

Lời giải

Ta có

limx→2+fx=limx→2+x2−3x+2x−2=limx→2+x−1x−2x−2=limx→2+x−1=1

limx→2−fx=a.

Để hàm số có giới hạn tại x = 2 thì limx→2+fx= limx→2−fx.

⇒a=1

Vậy a = 1.

Ví dụ 2: Tìm các giá trị thực của thông số fx=m−3khi x12m−13khi x=11−7x2+2khi x>1để hàm số để tồn tại limx→1fx.

Lời giải

Ta cólimx→1−fx=limx→1−m−3=m−3limx→1+fx=limx→1+1−7x2+2=−2

Để hàm số có giới hạn tại x = 1 thì limx→1−fx=limx→1+fx.

⇒m−3=−2⇔m=1

Vậy m = 1.

3. Bài tập từ bỏ luyện

Câu 1. Tính limx→1−−3x−1x−1bằng:

A. -1

B. -∞

C.+∞

D. -3

Câu 2. Tính limx→+∞2x2−13−x2bằng:

A.

Xem thêm: Phân Tích Bài Thơ Ngồi Buồn Nhớ Mẹ Ta Xưa ” Của Nguyễn Duy, Bài Thơ: Ngồi Buồn Nhớ Mẹ Ta Xưa

-2

B.13

C.23

D. 2

Câu 3. Tính limx→2x3−8x2−4bằng:

A. 3

B. 1

C. 4

D. 2

Câu 4. Tính limx→−4x2+3x−4x2+4xbằng:

A. -1

B. 54

C. 1

D.-54

Câu 5. Tính limx→1x3−1x−1bằng:

A. 13

B. 1

C. 12

D. 2

Câu 6. Tính limx→0x3+1−1x2+xbằng:

A. 4

B. 3

C. 0

D. 1

Câu 7. Tính limx→−∞4x2−x+1x+1bằng

A. -2

B. 1

C. 2

D. -1

Câu 8. Tính limx→+∞x+5−x−7bằng

A.-∞

B.+∞

C. 0

D. 4

Câu 9. Tính limx→−∞−2x5+x4−33x2−7là:

A. 0

B. +∞

C. -2

D.-∞

Câu 10. Tínhlimx→+∞x2−4x−x

A. -2

B. -∞

C. 0

D.+∞

Câu 11. Cho limx→−∞x2+ax+5+x=5. Giá trị của a là:

A. 6

B. 10

C. -10

D. -6

Câu 12. Kết quả đúng của limx→1x3−1x4−1bằng:

A. 34

B. 4

C. 43

D. 3

Câu 13. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề làm sao đúng?

A. limx→−∞x4−x1−2x=0

B. limx→−∞x4−x1−2x=+∞

C. limx→−∞x4−x1−2x=1

D. limx→−∞x4−x1−2x=−∞

Câu 14. Cho fx=4−x2      −2≤x≤2x2−4x−2                         x>2. Tính limx→−2+fx.

A. 0

B. 4

C.+∞

D.

Xem thêm: Bài Tập A An The Có Đáp Án Chi Tiết, Tổng Hợp Các Dạng Bài Tập Về Mạo Từ

không tồn tại

Câu 15. Tìm các giá trị thực của tham số m nhằm hàm số fx=x+m khi  x0x2+1khi  x≥0 có số lượng giới hạn tại x = 0.