Lý Thuyết Giới Hạn Dãy Số

Lý thuyết số lượng giới hạn của hàng số lớp 11 gồm định hướng chi tiết, gọn gàng và bài tập trường đoản cú luyện bao gồm lời giải chi tiết sẽ giúp học viên nắm vững kiến thức trọng trung tâm Toán 11 bài bác 1: số lượng giới hạn của hàng số.

Bạn đang xem: Lý thuyết giới hạn dãy số

Lý thuyết Toán 11 bài bác 1: giới hạn của hàng số

Bài giảng Toán 11 bài 1: số lượng giới hạn của hàng số

A. LÝ THUYẾT

I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ

1. Định nghĩa

Định nghĩa 1

Ta nói dãy số (un) có số lượng giới hạn là 0 lúc n dần dần tới dương vô cực, giả dụ |un| tất cả thể nhỏ tuổi hơn một số trong những dương nhỏ xíu tuỳ ý, tính từ lúc một số hạng nào kia trở đi.

Kí hiệu:limn→+∞un=0hay un→ 0 lúc n → +∞.

Ví dụ 1. cho dãy số (un) cùng với un=−1nn2. Tìm số lượng giới hạn dãy số

Giải

Xétun=1n2=1n2

Với n > 10 n2 > 102 = 100

⇒un=1n2=1n21100⇒limn→∞un=0

Định nghĩa 2

Ta nói dãy số (vn) có số lượng giới hạn là a (hay vndần tới a) khi n → +∞ nếulimn→+∞vn−a=0

Kí hiệu:limn→+∞vn=ahay vn→ a khi n → +∞.

Ví dụ 2. Cho dãy số vn=−n−13+2n. Chứng minh rằng limn→∞vn=−12.

Giải

Ta cólimn→∞vn+12=limn→∞−n−13+2n+12=limn→∞=123+2n=0

Do đó: limn→∞vn=−12.

2. Một vài giới hạn đặc biệt

a)limn→+∞1n=0,limn→+∞1nk=0 với k nguyên dương;

b)limn→+∞qnnếu |q|

c) trường hợp un= c (c là hằng số) thìlimn→+∞un=limn→+∞c=c.

Chú ý:Từ nay sau này thay cholimn→+∞un=ata viết tắt là lim un= a.

II. ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN

Định lí 1

a) nếu như lim un= a cùng lim vn= b thì

lim (un+ vn) = a + b

lim (un– vn) = a – b

lim (un.vn) = a.b

limunvn=ab(nếu b≠0)

Nếu un≥0với hầu hết n với limun­ = a thì:

limun=a vàa≥0.

Ví dụ 3. Tínhlimn2−2n+1

Giải

limn2−2n+1=limn3+n2−2n+1=lim1+1n−2n31n2+1n3=lim1+1n−2n3:lim1n2+1n3=lim1+lim1n−lim2n3:lim1n2+lim1n3=+∞

Ví dụ 4. Tìmlim2+9n21+4n

Giải

lim2+9n21+4n=limn22n2+9n1n+4=limn2n2+9n1n+4=lim2n2+91n+4=34.

III. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN

Cấp số nhân vô hạn (un) có công bội q, cùng với |q|

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:

S=u1+u2+u3+...+un+...=u11−qq1

Ví dụ 5. Tính tổng của cấp cho số nhân lùi vô hạn1;−12;14;−18;...;−12n−1;...

Giải

Ta gồm dãy số1;−12;14;−18;...;−12n−1;... Là một trong những cấp số nhân lùi vô hạn cùng với công bội q=−12.

Khi kia ta có:

IV. GIỚI HẠN VÔ CỰC

1. Định nghĩa

- Ta nói hàng số (un) có số lượng giới hạn là +∞ khi n → +∞, trường hợp uncó thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: lim un= +∞ tuyệt un→ +∞ lúc n → +∞.

- dãy số (un) có số lượng giới hạn là –∞ lúc n → +∞, nếu lim (–un) = +∞.

Kí hiệu: lim un= –∞ tốt un→ –∞ lúc n → +∞.

Nhận xét: un= +∞ ⇔ lim(–un) = –∞

2. Một vài số lượng giới hạn đặc biệt

Ta đồng ý các công dụng sau

a) lim nk= +∞ với k nguyên dương;

b) lim qn= +∞ ví như q > 1.

3. Định lí 2

a) trường hợp lim un= a cùng lim vn= ±∞ thìlimunvn=0

b) ví như lim un= a > 0, lim vn= 0 với vn> 0, ∀ n > 0 thìlimunvn=+∞

c) ví như lim un= +∞ với lim nước ta = a > 0 thìlimun.vn=+∞

Ví dụ 6.

Xem thêm: Thế Nào Là Danh Từ Chung Và Danh Từ Riêng Trong Tiếng Anh Là Gì?

Tính lim2n+1n.

Giải

lim2n+1n=lim2n+lim1n

Vì lim2n=+∞vàlim1n=0

⇒lim2n+1n=+∞

B. BÀI TẬP

Bài 1. Tính các giới hạn sau:

a)lim2n+8n−9;

b)lim4−n3−12n21+2n3;

c)lim3n−4n+12.4n+2n.

Lời giải

a)lim2n+8n−9=lim2+8n1−9n=2.

b)

lim4−n3−12n21+2n3=lim4n3−1−12n1n3+2=−12.

c)

lim3n−4n+12.4n+2n=lim34n−1+14n2+12n=−12.

Bài 2. kiếm tìm số hạng tổng quát của cấp cho số nhân lùi vô hạn tất cả công bội là 23và tính tổng của cấp cho số nhân lùi vô hạn.

Lời giải

Số hạng bao quát của cấp số nhân lùi vô hạn là: un=23n.

Suy ra số hạng thứ nhất của dãy là:u1=1

Khi kia tổng cấp cho số nhân lùi vô hạn là:S=u11−q=11−23=113=3.

Vậy số hạng bao quát của cấp số nhân lùi vô hạn là:un=23n với tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là 3.

Bài 3. Biết hàng số (un) vừa lòng un−11n3với các n. Chứng minh rằng limun = 1.

Lời giải

Đặt vn = un - 1

Chọn số dương bé xíu tùy ý d, tồn tạin0=1d3+1 với mọi n≥n0sao cho:

vn1n31n03=11d3+1311d33=d

Theo quan niệm ta có: limvn = 0.

Do đó: lim (un – 1) = 0

⇒limun=1.

Bài 4. Tính các giới hạn sau:

a) limn2+n−n2−1;

b) lim(n3 + 2n2 – n + 1).

Lời giải

a)

limn2+n−n2−1=limn2+n−n2−1n2+n+n2−1n2+n+n2−1=limn+1n2+n+n2−1=lim1+1n1+1n+1−1n2=11+1=12.

b) lim(n3 + 2n2 – n + 1) =limn31+2n−1n2+1n3=limn3.lim1+2n−1n2+1n3=∞

(Vì limn3=∞,lim1+2n−1n2+1n3=1).

Trắc nghiệm Toán 11 bài 1: số lượng giới hạn của dãy số

Câu 1: Cho cấp số nhân un=12n∀n≥1 .Khi đó:

A.S=1

B.S=12n

C.S=0

D.S=2

Đáp án: A

Giải thích:

Cấp số nhân đã đến là cấp cho số nhân lùi vô hạn có:

u1=12;q=12

⇒S=u11−q=121−12=1

Câu 3: mang đến unlà một cung cấp số nhân công bội q=13và số hạng đầu u1=2,

Đặt S=u1+u2+...+un . Giá limSnlà:

A. 1

B. 23

C. 43

D. 3

Đáp án: D

Giải thích:

Do0q=131nên cấp số nhân đã đến là cấp số nhân lùi vô hạn:

S=u1+u2+...+un

=u1(1−qn)1−q

⇒limSn=u1(1−qn)1−q

=u11−q=21−13=3

Câu 4: cung cấp số nhân uncó u1=2,u2=1. Đặt Sn=u1+u2+...+un), lúc đó:

A.Sn=41−12n

B.Sn=4

C.Sn=2

D.Sn=1−12n

Đáp án: A

Giải thích:

VìSn=u1+u2+...+un nên đấy là tổng n số hạng đầu của cấp cho số nhân lực bội

q=  u2u1= 12.

Theo bí quyết tính tổngSn=u1(1−qn)1−qta được:

Sn=2(1−12n)1−12=41−12n

Đáp án: B

Giải thích:

C=lim3.3n+4n3n+1+4n+1

=lim3.3n+4n3.3n+4.4n

=lim3.34n+13.34n+4

=3.0+​13.0+​  4=12

Câu 6: Biết limun=3. Lựa chọn mệnh đề đúng trong số mệnh đề sau.

Xem thêm: Mối Ghép Bằng Ren Có Mấy Loại, Nêu Cấu Tạo,Đặc Điểm Và Ứng Dụng Của Từng Loại

A.lim3un−1un+1=3

B.lim3un−1un+1=−1

C.lim3un−1un+1=2

D.lim3un−1un+1=1

Câu 7: Biết limun=+∞. Lựa chọn mệnh đề đúng trong số mệnh đề sau.